デデキント切断・とは？中学生にもわかるデデキント切断の基礎解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

デデキント切断・とは？

デデキント切断は実数を 有理数だけを使って作る数学的な考え方の一つです。名前はドイツの数学者 リヒャルト・デデキンド に由来します。デデキント切断では、すべての有理数を二つの集合に分けます。左の集合 L と右の集合 U です。これらは次のような性質を満たします。

定義左の集合 L は空でなく、右の集合 U も空でなく、L と U は互いに分かれています。

すべての l ∈ L とすべての u ∈ U に対して l < u となります。

L の任意の元より大きな元は U に入るが、L には最大の元が存在しません。

このとき L の「境界」を超える数は現れることがなく、L の性質から実数という連続な数の体系を作ることができます。要するに、左側の数の集まりが「この実数以下の全ての有理数」を表すのです。

具体的な例

例1 でんつは、ある実数 a が有理数か非有理数かにかかわらず、切断として表せます。例えば有理数 3 の切断は次のように表せます：
L = { q ∈ Q | q < 3 }

U = { q ∈ Q | q ≥ 3 }

例2 sqrt の場合を考えます。√2 に対応する切断は、
L = { q ∈ Q | q^2 < 2 }

U = { q ∈ Q | q^2 > 2 }

このとき √2 は有理数ではないため、L の元だけでは数 √2 を直接表すことはできません。しかし、L と U の組として「実数 √2」を表す切断が作られるのです。これがデデキント切断の核心です。

この考え方には 順序完備性 という重要な性質が結びつきます。すべての有理数の列が、デデキンド切断としての実数の下限極限に収束します。つまり、デデキンド切断を使うと、実数の「抜け落ち」をなくして、連続的な数の世界をきちんと作れるのです。

以下は要点を整理した小さな表です。

要素	説明
L集合	左側の小さな数をすべて含む有理数の集まり
U集合	右側の大きな数をすべて含む有理数の集まり
性質	L には最大元がなく、すべての l ∈ L と u ∈ U には l < u
意味	この切断の組が一つの実数を表す

デデキンド切断は、現代の分析学の土台の一つである実数の定義として広く使われます。難しく感じるかもしれませんが、基本は「有理数を二つの集合に分けて、左の集合が小さな数、右の集合が大きな数」という直感です。学校の授業や参考書で出会うときには、まずこの二つの集合の性質をしっかり確認してみてください。

デデキント切断の同意語

デデキント切断: 実数を定義・構成するための有理数の特定の二分割。QをAとBという二つの非空集合に分け、すべてのa∈Aとb∈Bに対してa和集合がQになる、という条件を満たすもの。
デデキントの切断: デデキント切断と同じ概念を指す別表記。意味は同じ。
デデキントの分割: デデキント切断を別の言い方で表したもの。QをAとBに分割するという点は同じ。
有理数の二分割による実数構成: デデキント切断の考え方を説明的に表現した言い方。有理数の二分割によって実数を定義する構成法。
デデキントによる実数構成の切断法: デデキント切断を用いた実数の構成法を指す言い換え表現。

デデキント切断の対義語・反対語

反デデキント切断（左集合が最大元を持つ分割）: デデキント切断は左集合Aが最大元を持たないことを要求しますが、それと反対に左集合Aに最大元がある分割のことです。実数の厳密な対応付けを伴わない例として考えることができます。初心者には“デデキント条件の逆”と捉えると理解しやすいです。
コーシー列による実数構成: デデキント切断の代替として用いられる実数の構成法。有理数のコーシー列を極限として同値に扱い、実数を定義します。デデキント切断と並ぶ主要な構成法の一つです。
有理数のみの直感的表現: 実数を有理数だけで扱う作法・考え方。教育上の直感を養うための簡略な見方で、厳密な実数の代替には別の説明が必要です。
デデキント切断以外の実数表現（別表現法）: デデキント切断以外の実数の定義・表現法を総称した言い換え。コーシー構成法などが代表例です。
反デデキント切断の別名・別表現: デデキント条件の反対を表す分割を指す言い換え。『反デデキント切断』や『左集合が最大元を持つ分割』と呼ばれることがあります。

デデキント切断の共起語

デデキント: デデキントはこの切断の名の由来となった数学者。共起語として名前がよく挙がります。
デデキンド切断: デデキント切断の別表記・同義語。日本語表記の揺れとして見られることがあります。
有理数: デデキント切断は有理数集合 Q の部分集合 A とその補集合から成り、A は有理数で構成されます。
実数: デデキント切断は実数を定義・構成する方法の一つで、切断に対応する実数が一つ存在します。
初期部分集合: A は有理数の初期部分集合（下方集合）であることが要件の一つです。
下方集合: A は下方集合で、もし q ∈ A なら p < q なら p も A に含まれる、という性質を満たします。
下方閉性: A が満たすべき性質の核心。任意の q ∈ A に対して p < q なら p ∈ A。
最大元なし: A には最大元が存在しない、これがデデキント切断の特徴です。
補集合: A の補集合は Q o A となり、切断のもう一方の半を表します。
実数 αによる表現: ある実数 α を境にした下方集合として A を表現でき、α がこの切断に対応します。
区間形式: 多くの場合 A は { q ∈ Q | q < α } の形の下方区間として表されます（α は実数）。
完備性: デデキント切断は実数の完備性の概念と深く結びつき、すべての切断が実数として対応づけられることを示します。
全順序体: 実数は全順序体であり、デデキント切断はこの順序構造の基盤となる考え方です。
無理数: α が無理数である場合にも対応するデデキント切断を作ることができ、無理数を含む実数の構成に利用されます。

デデキント切断の関連用語

デデキント切断: 有理数集合QをAとBの2集合に分け、Aは下方閉集合、Bは補集合、AとBはQをちょうど分割する。さらに全てのa ∈ Aとb ∈ Bに対して a < b が成り立つ。
下方閉集合: Aが下方閉じているとは、Aにある数xより小さい数yも必ずAに含まれる性質のこと。デデキント切断ではAはこの性質を満たす集合として現れる。
上方閉集合: Bが上方閉集合であるとは、Bにある数xより大きい数がすべてBに含まれる性質。デデキント切断ではBは補集合としてこの性質を満たすことが多い。
有理数集合: 有理数全体の集合。整数の比で表せる数の集合で、Qと表記される。デデキント切断の出発点となる基礎集合。
実数集合: 実数全体の集合。デデキント切断により定義される新しい構造の基盤。Rで表される。
実数の構成（デデキント切断による構成）: デデキント切断を用いて、Qの分割から実数を1つずつ対応づけて定義する方法。これによりRを構成できる。
デデキント完備性/完全性公理: 実数集合には上界を持つ非空で部分集合に対して最小上界が必ず存在する、いわゆる完備性。デデキント切断による実数はこの性質を満たす。
コーシー列による実数の構成: 別の実数の構成法。Q上のコーシー列を同値類として扱い、それらを極限として実数とする。
√2のデデキント切断: √2をデデキント切断で表す代表例。A = {q ∈ Q | q < √2}、B = {q ∈ Q | q > √2}。√2は有理数ではないため、Aには最大元も最小元も存在しない。
有理数とデデキント切断の対応: 有理数qは、A={r∈Q | r
順序体としてのデデキント切断の位置づけ: デデキント切断は有理数の上に実数の秩序体を構成する手法。