四次方程式・とは？初心者にも分かる基本と解き方のコツ共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

四次方程式・とは？

この記事では四次方程式とは何かをやさしく解説します。四次方程式とは 変数 x を含む最高次数が 4 の多項式を 0 に等しくする方程式 のことです。一般形は ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 であり a は 0 ではないことが前提です。

四次方程式の基本

四次方程式にはいくつかの解き方があります。因数分解ができれば最も直感的です。また bx^3 および dx の項がない特別な形のときには置換を使って簡単に解けることがあります。

置換と biquadratic の考え方

もし方程式が x^4 か x^2 のみの項から成る biquadratic の形 であれば y = x^2 の置換で二次方程式に落とすことができます。たとえば x^4 + p x^2 + q = 0 は y^2 + p y + q = 0 に変形できます。

実例で学ぶ基本的な解き方

次の簡単な例を使って手順を追います。

例	x^4 - 5x^2 + 6 = 0
置換	y = x^2
二次方程式	y^2 - 5y + 6 = 0
解	y = 2 または y = 3
元の変数へ	x^2 = 2 または x^2 = 3
解	x = ±√2 または x = ±√3

この例のように biquadratic の形 のときは置換を使い、二次方程式の解から x の解を得ることができます。一般の四次方程式では 因数分解が難しい場合 が多いので、Ferrari 法と呼ばれる高度な手法や数値法が使われます。初心者にはまずはこの biquadratic の解法と、二つの二次方程式に分解できるかどうかを見つける練習をおすすめします。

理解のコツとしては、方程式の形を観察して置換や因数分解の入口を探すことです。難しそうに見える四次方程式も、パターンを知っていると解ける確率がぐんと上がります。

よくある質問と答えの例を紹介します。四次方程式を解くときに生じる疑問として、すべての解を必ず求めるべきか、実数解だけで十分か、解の個数はどう決まるのか などがあります。答えとしては、それぞれの方程式の性質に応じて変わります。実数解が多いときでも複素解との関係を理解すると解法が見つかりやすくなります。

四次方程式の同意語

四次方程式: 次数が4の多項式を0に等しくする方程式。一般形 a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0（A ≠ 0）のように表される。
4次方程式: 同義。表記を数字の4にした表現。
四次多項式方程式: 左辺が4次多項式（次数4の多項式）となる方程式。
4次多項式方程式: 左辺が4次の多項式の方程式。4を用いた表現。
四次の方程式: 次数が4の方程式。口語的で自然な表現。
4次の方程式: 次数が4の方程式。日常的な言い方。
次数4の方程式: 次数が4の方程式。正式な言い回しで同義。

四次方程式の対義語・反対語

一次方程式: 四次方程式に対して次数が最も低い方程式。形は ax + b = 0 のように単純で、解は1つになることが多い（a ≠ 0）。
二次方程式: 次数が2の方程式。形は ax^2 + bx + c = 0。解の公式があり、解法として定番。
線形方程式: 線形（1次）方程式のこと。未知数が1つの場合は特に単純。複数未知数の連立線形方程式も、代数的に解く手順が確立している。
低次方程式: 1次・2次・3次など、四次より低い次数の方程式を指す総称。対義語として使われることがある。
高次方程式: 四次より高い次数の方程式。一般には解法が難しく、代数的解が必ずしも存在しないことがある点が特徴。
五次方程式: 五次方程式。四次の次の階層。一般には代数的解は存在しない場合が有名。
非多項式方程式: 方程式が多項式でない場合。指数関数・対数関数・三角関数などを含む方程式がこれに該当。
超越方程式: 代数的な多項式方程式でない方程式。sin x = x や e^x = 2 など、解を代数的に表現できない性質をもつもの。

四次方程式の共起語

有理根定理: 有理根定理は、有理根が存在するときの形を示す法則。四次方程式の実解候補を絞るのに役立ちます。
判別式: 判別式は、解の性質（実数解の有無や重根の有無）を予測する指標です。四次方程式にも対応します。
根: 方程式の解のこと。xの値として現れます。
実数解: 実数として得られる解のこと。曲線とx軸の交点として現れます。
虚数解: 虚数を含む解のこと。実数ではない解の一種で、複素共役対を成すことが多いです。
複素数解: 実部と虚部を持つ解で、複素平面上の点として現れます。
係数: 四次方程式の各項の係数（例: a, b, c, d, e）。解法はこれらの値に依存します。
多項式: 四次方程式は次数4の多項式です。
因数分解: 多項式を因数の積に分解して解を得やすくする手法です。
平方完成: 平方を完成させる操作。Ferrari法の要素として使われます。
降次: 高次の方程式を低次の方程式へ変換して解を探る手法です。
置換: 変数を置換して方程式を簡略化するテクニック。Tschirnhaus変換の一部として用いられます。
Ferrariの解法: 四次方程式を解く代表的な方法。降次と平方完成を組み合わせて解を作ります。
降次法: 四次方程式を二次方程式などへ分解して解く方法の総称です。
数値解法: 解析解が難しい場合に近似解を求める方法です。
ニュートン法: 反復を用いて解を近似する代表的な数値解法の一つです。
二分法: 連続区間を分割して解を絞るシンプルな数値解法です。
グラフ: 関数のグラフを描くと、実根の位置や個数を視覚的に把握できます。
最高次項: 四次方程式の最高次項の係数（通常 a）です。

四次方程式の関連用語

四次方程式: 4次の次数を持つ方程式の総称。一般形は ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 など、係数は実数または複素数で a ≠ 0。
一般形の四次方程式: 4次方程式の最も基本的な形。係数 a, b, c, d, e は実数（または複素数）で、a ≠ 0。
ビクアトリック方程式（biquadratic equation）: x^4, x^2, 定数のみを含む特殊な四次方程式。形は ax^4+bx^2+c=0。x^3やxの項がなく、代数的に解きやすい場合が多い。
解の公式（四次方程式の解の公式）: 四次方程式の根を表す一般公式。代数的に解くための公式で、Ferrariの公式とも呼ばれる。
Ferrariの方法: 四次方程式を解く代表的な代数的手法の一つ。まず退化した形に変形して必要な条件を満たし、根を組み立てて解を得る。
置換法: 特定の形の四次方程式を変数へ置換して二次方程式などに還元する方法。例として x^2=t に置換して biquadratic 方程式を解くなど。
デカルトの符号定理: 実数根の個数を、係数の符号変化回数から推定する法則。正の根・負の根の数を予測するのに役立つ。
判別式（quartic discriminant）: 四次方程式が重根を持つかどうかを判断する指標。判別式が0になると重根の可能性がある。
有理根定理: 有理根候補を決める法則。多項式の有理解を調べる際の第一歩として使われる。
因数分解: 四次方程式を二次式の組み合わせや線形因子に分解して解を求める方法。
実数解・虚数解: 実数根と虚数根（複素共役対を含む）の区別。実係数の場合は虚根は共役となることが多い。
Vietaの公式: 根と係数の間の関係を結ぶ公式。例えば根 r1,r2,r3,r4 に対して和や積、対称関係が分かる。
数値解法: 解の公式が複雑な場合や実用的には数値的に解を近似する方法。
ニュートン法: 初期値から反復的に解を求める代表的な数値法。四次方程式の解にも適用できる。
Durand–Kerner法: 四次方程式を含む任意次数の多項式の全ての根を複素平面で同時に近似するアルゴリズム。
Bairstow法: 複素共役根を分離して多項式の根を求める数値アルゴリズム。特に実数係数の多項式で使われる。