線形射影・とは？中学生にもわかるやさしい解説と実例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

線形射影・とは？基本のイメージ

線形射影はある空間の点を別の空間へ「落とす」作業です。ここではベクトル空間と呼ばれる数学の空間を使います。例えば二次元の平面の中で点をある直線へ落とすような動作を考えます。太陽の光が地面に作る影のように、点がどの方向へ伸びていくのを制限しているのが線形射影です。

2次元の具体例

2次元のベクトル v を x 軸へ投影すると得られるベクトルは (x, 0) となります。つまり縦方向の成分を捨てて水平方向だけを取り出す操作です。別の例として y 軸へ投影すると (0, y) になります。これらは直感的に理解しやすく、図を描くとより分かりやすくなります。

性質と考え方

線形射影には重要な性質がいくつかあります。まず 線形性 です。ベクトルの組み合わせに対して射影をする前後で同じ恒等性が成り立ちます。つまり P が線形射影のとき P(a v + b w) = a P(v) + b P(w) が成り立ちます。次に「同じベクトルを投影すると同じ点になる」という性質があります。さらに P^2 = P という性質もあります。これは射影をもう一度行っても結果が変わらないことを意味します。投影先の空間を S とすると、元の空間は S とその補空間と呼ばれる別の空間の直和として表せることもあります。

また 正射影 とは投影先の方向が直交するような射影のことを指します。内積が定義される空間では、元のベクトルと投影先の方向が直交するように最も近い点を選ぶような投影です。

行列で見る投影

投影は線形変換として表され、行列で表すと実際の計算がしやすくなります。例を二つ挙げます。

例1 x 軸への投影

2 次元のベクトルを x 軸へ投影する場合の行列は P = [[1, 0], [0, 0]] です。v = (3, 4) を掛けると Pv = (3, 0) になります。これが実際の投影の結果です。

例2 直線 y = x への投影

直線 y = x はベクトル u = (1, 1) が張る直線です。u の長さは 2 なので投影の行列は P = (u u^T)/(u^T u) = 1/2 [[1,1],[1,1]] となります。ベクトル v = (3, 4) を掛けると Pv = (3.5, 3.5) になります。これが直線へ落とした影の位置です。

実生活やほかの場面での意味

線形射影は数学だけでなくコンピュータのグラフィックや機械学習の前処理にも出てくる基本的な道具です。データを低次元へ変換する作業の一部として現れます。例えば特徴量の中から最も大事な要素だけを取り出して計算を速くしたりノイズを減らしたりする助けになります。

練習と確認のポイント

投影の考え方を確かめるにはいくつかの練習がおすすめです。まずは二次元のいろいろな直線に対して投影の行列を作り、実際にベクトルを掛けて結果を確かめてみましょう。次に自分で解く問題として、別の直線や平面を投影先として設定し式 P の形を作ってみると理解が深まります。

まとめ

線形射影は空間の点を別の空間へ落とす道具であり、P が線形で P^2 = P という性質を持つことがポイントです。具体的には x 軸や y 軸への投影や直線 y = x への投影などを行列で表すことができ、式を使えば任意のベクトルを投影する計算ができます。正射影では投影先との直交関係を使って最も近い点を求めることができ、データ処理の基礎にもなります。

投影の具体例のまとめ

例	行列	結果のベクトル
x 軸への投影	[[1, 0], [0, 0]]	(3, 0)
直線 y = x への投影	1/2 [[1, 1], [1, 1]]	(3.5, 3.5)

線形射影の同意語

線形投影: ベクトル空間 V 上の線形写像 P で、P^2 = P を満たす射影。V を不変な分解 V = Im(P) ⊕ Ker(P) の形に分解する性質を持つ。
投影演算子: 線形性を保ちつつ射影の役割を果たす演算子。P^2 = P の条件を満たす写像を指す。
射影演算子: 線形射影を別の言い方で表現した名称。P^2 = P の性質を持つ。
射影変換: ベクトル空間上の射影を変換として表した呼び方。線形射影の一種。
投影変換: 同じく、対象をある部分空間へ投影する変換の意味で使われる表現。
投影写像: 投影を写像として捉えた表現。線形射影と同義で用いられることが多い。
直交射影: 内積空間で、投影方向が直交する線形射影。P^2 = P かつ P^T = P の条件を満たすことが多い。
直交投影: 直交射影の別称。直交性を持つ線形射影を指す言い方。
正射影: 直交射影の別称として用いられることがある表現。

線形射影の対義語・反対語

非線形射影: 線形性を満たさない射影のこと。線形射影はベクトル空間をある部分空間に“投影”する際、P^2 = P かつ線形性を満たしますが、非線形射影はその線形条件を満たさない、投影の性質を維持する別種の写像を指すことがあります。直感的には、同じ“投影”的動作を含みつつ、変換の振る舞いが線形ではなくなるケースを想像するとわかりやすいでしょう。
アフィン射影: アフィン空間における射影で、原点を固定して線形に投影する線形射影とは異なり、平行移動を含む形で空間を投影します。数式で言えば、形は Ax + b のようになり、原点依存での線形性を失います。
透視投影: 3次元空間を平面に投影する視点投影。点の位置を分母で割る非線形的な変換が入り、線形射影の性質から逸脱します。主にコンピュータグラフィックスで“遠くのものが小さく見える”ような投影を指します。
非投影的写像: 射影の特性（空間を特定の部分空間に固定すること、または P^2 = P のような反復性）を満たさない、一般的な写像。線形射影の対義という意味合いで使われることがあります。

線形射影の共起語

投影: ある集合を別の集合へ写す操作。線形射影においては、ベクトルを特定の部分空間へ写す線形写像の総称です。
投影行列: 線形射影を行列表現したもの。Pと書かれ、P^2 = Pを満たす正方行列として表されます。
直交射影: 内積を用いて、ある部分空間へ正確に写す射影。写された成分のうち、正の部分はその部分空間の成分だけになります。
部分空間: 大きなベクトル空間の中にある、加法とスカラー倍が閉じる小さな空間。射影の対象となる。
像: 線形写像を通して写されるベクトルの集合。Im(P) は線形射影の像です。
核: 線形写像を0に写す元の集合。Ker(P) は射影の核です。
線形変換: ベクトルを別のベクトルへ線形に写す写像。射影はその一種です。
行列: ベクトルを数値で表現する道具。線形射影は行列で表現でき、計算できます。
基底: 部分空間を張るベクトルの組。空間の特徴を決める土台になります。
直交基底: 内積を使って互いに直交するように整えられた基底。直交射影の計算を簡単にします。
補空間: Im(P)（像）と Ker(P)（核）で空間を直和分解する際のもう一方の分割先。
固有値: 線形変換の不変方向を示すスカラー値。射影では0と1がよく現れます。
固有ベクトル: 対応する固有値をもつ非零ベクトル。射影の特性を理解する手がかりになります。

線形射影の関連用語

線形射影: 線形射影とは、ある部分空間 W へベクトルを射影する線形写像 P: V→V のことで、P^2 = P を満たし、像が W、核が補空間 U となるように V を分解します。
部分空間: 部分空間とは、元のベクトル空間 V の中にある、加法とスカラー倍の演算を閉じた集合のことです。
像: 射影の結果として得られる全ベクトルの集合。通常は投影先のサブ空間を指します。
核: 射影が 0 に写すベクトル全体の集合。P(x)=0 となる x の集合です。
補空間: V を分解するもう一方の空間。V = W ⊕ U のとき、U が補空間です。
直交射影: 内積を用いて、残差 x − P x が W⊥ に直交するように投影する射影です。
斜射影: 直交でない方向に沿って射影する射影です。
射影行列: 座標系を固定して表現した射影の行列 P。y = P x の形で表されます。
冪等性: 射影の性質 P^2 = P。二度以上射影しても結果が変わりません。
対称性: 直交射影の場合、P^T = P となり、対称行列になります。
直交分解: V は直交的に W と W⊥ に分解でき、各ベクトルは W と W⊥ への成分に一意に分解されます。
基底: 部分空間を張るベクトルの集合で、線形独立かつ空間を生成します。
スパン（span）: あるベクトル集合が張る部分空間のことです。
列空間: 行列 A の列ベクトルが張る部分空間。射影の文脈で重要です。
行列表現: 射影は basis を選ぶと行列 P によって y = P x で表現できます。
Proj_W(x) の一般式: W が正規直交基底 {u1,...,uk} を持つ場合、Proj_W(x) = ∑ (x·ui) ui。非直交基底の場合は Proj_W(x) = A (A^T A)^{-1} A^T x を用います。
最小二乗投影: データ点 b を A に最も近づけるような射影として解釈され、A^T A x = A^T b を解くことで得られます。
正規方程式: 最小二乗解を求める方程式 A^T A x = A^T b のことです。
ムーア・ペンローズ逆: 最小二乗問題の一般解を与える広義逆。射影の計算にも用いられます。
Gram-Schmidt: 基底を正規直交基底へ変換する手法で、直交射影を扱う際に有用です。
グラム行列: 基底ベクトルの内積から作る行列 G = B^T B のことです。
残差: 元のベクトル x と射影 Px との差 r = x − Px。誤差のベクトルです。
内積: 二つのベクトルの方向と長さを測る基本的な演算。投影の公式にも現れます。
直交補空間: W⊥ は W に直交する空間で、V = W ⊕ W⊥ の直交分解に現れます。
固有値と固有ベクトル: 射影の固有値は 0 と 1。対応する固有ベクトルは核と像の方向を表します。
Proj_v(x) の例: 1 次元へ射影する例として、線形独立なベクトル v へ Proj_v(x) = (x·v / v·v) v と表されます。
列空間への射影の式: A の列空間 W に対する射影は Proj_W(x) = A (A^T A)^{-1} A^T x（A が列全体が基底となる場合）で表せます。
残差の性質: 残差 r = x − Px は W⊥ に属する成分として解釈され、射影の誤差を示します。
直交射影と最適性: 直交射影は、与えられた x に対して W へ最も小さいノルムの距離を与える射影です。
応用例: データの次元削減・信号処理・機械学習の前処理など、データをあるサブ空間へ投影して特徴抽出を行う場面で頻繁に使われます。