定数変化法・とは？初心者にもわかる基本ガイドと例題共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

定数変化法・とは？

定数変化法は、微分方程式の解くときに使う代表的な手法のひとつです。特に y' + p(t) y = g(t) のような1次の線形微分方程式を解くときに威力を発揮します。名前の通り、未知の定数を関数へと「変化」させて解を作っていく考え方が特徴です。

基本の考え方

1つ目のポイント：対応する斉次方程式を先に解くことです。斉次方程式とは右辺が0の式で、y' + p(t) y = 0 となります。

このときの解は <span>y_h(t) = C つきの形で、実際には y_h(t) = C e^{-∫ p(t) dt} のようになります。

2つ目のポイント：定数を関数に置換する作業です。未知の解を y(t) = u(t) y_h(t) の形で表します。ここで u(t) はまだ決まっていない関数です。

3つ目のポイント：代入して u'(t) を決める仕組みです。y = u y_h とすると y' = u' y_h + u y_h' となり、元の方程式に代入すると y_h' = -p(t) y_h の性質により式が簡略化されます。結果、

u'(t) y_h(t) = g(t) となり、 u'(t) = g(t) / y_h(t) を得ます。これを積分すると u(t) が決まり、最後に y(t) = u(t) y_h(t) を得ることができます。

簡単な実例

例として方程式 y' + y = e^t を取りましょう。

まず同次方程式の解は y_h = C e^{-t} です。

y = u e^{-t} とおくと、代入後に u'(t) e^{-t} = e^t となり、u'(t) = e^{2t}。これを積分して u(t) = (1/2) e^{2t} + C が得られます。

したがって解は y(t) = (1/2) e^{t} + C e^{-t} となります。この結果は一般解として、初期条件を使えば定数 C を決めることができます。

実務での使い分けと注意点

適用の目安：1次線形微分方程式で右辺が複雑なときに有効です。特に g(t) が単純な指数関数や多項式の組み合わせなら計算が楽になります。

初期条件の扱い：初期値 y(t0) を与えると定数 C を決定します。これを忘れないことが解の正しさのカギです。

注意点：使い方を間違えると計算が長くなりがちです。斉次解と特殊解を分けて考える感覚を養い、u(t) の導出と積分を丁寧に行いましょう。

比較と関連法の表

方法	ポイント	難易度
定数変化法	斉次解を基にして特解を作る	普通
積分因子法	1次方程式の別の基本解法	易

まとめ

定数変化法は、線形微分方程式を解くときの有力なツールの一つです。基礎を押さえ、例題を繰り返すことで、g(t) の形が変わっても応用しやすくなります。なお、同じ考え方は高次の方程式の変数分離や変数の置換と組み合わせて使われることもあります。

定数変化法の同意語

定数変化法: 線形微分方程式を解く代表的な解法の一つ。基底解の係数を定数から関数へ置換して特解を求める方法で、英語の Variation of Parameters に対応します。
パラメータ変化法: Variation of Parameters の日本語表現の一つ。定数を関数に変えて特解を組み立てる解法です。
パラメータ法: Variation of Parameters の略称として使われることがある解法。複数のパラメータを変化させて解を構成します。
定数変動法: Variation of Constants の日本語訳の別称。定数を変動させて特解を構成する解法。
定数変化の法: 定数の変化を利用して解を導く解法の表現。Variation of Parameters の別表現として用いられます。
定数変化の方法: 定数を関数へ置換して特解を導く手法という意味の表現。Variation of Parameters の同義語として使われることがあります。
定数変換法: 定数を変換して解を構成する解法という意味合いで使われることがある同義表現。

定数変化法の対義語・反対語

定数固定法: 定数を変化させず、固定したまま進める手法。定数変化法の対義として位置づけられる。
変数変化法: 変数を変化させて進める手法。定数を変えずに、変数の変化を重視する発想。
定数不変法: 定数を厳密に不変として扱う方法。定数の変化を避ける点を強調した表現。
変数主導法: 解法の主導を変数の変化に置く方法。定数の変更を前提としないアプローチ。
直変換法: 直接的な変換を用いる別の方法。定数変化法とは異なる変換アプローチの一つ。
変数依存法: 問題の挙動を変数の依存関係に基づいて解く方法。定数変更を前提としない発想。
変数最適化法: 変数を最適化・調整することで解を導く手法。定数変更を前提としないアプローチ。

定数変化法の共起語

常微分方程式: 未知の関数とその導関数の関係を1変数について表す方程式。定数変化法はこの分野の解法の一つです。
線形微分方程式: 係数が未知関数に対して線形になる微分方程式。定数変化法は非同次の線形方程式の解を作るときに用います。
同次線形微分方程式: 右辺が0の線形微分方程式。定数変化法ではまずこの同次部分の解を探します。
非同次線形微分方程式: 右辺に外部項がある線形微分方程式。定数変化法はこの非同次項に対する解を構成します。
基底解: 同次方程式の独立な解の集まり。これを基に特解を作るのが定数変化法の基本です。
特解: 非同次方程式を満たす解のうち、非同次項を反映した具体的な解。
非同次項: 方程式の右辺に現れる項で、定数変化法の対象となる特徴的な成分。
右辺項: 方程式の右側に現れる項。非同次化の目的で重要です。
変数変換: 解法の過程で変数の表現を変更し、計算を簡単にする操作。
Wronskian: 基底解の線形独立性を判定する行列式。日本語ではヴロンスキーの式と呼ばれることもあります。
解の重ね合わせ原理: 線形微分方程式では解の和も解になる性質。定数変化法の設計にも関係します。
初期値問題: 初期条件を与えて特定の解を求める問題。一般解から条件を満たす解を取り出します。
連立微分方程式: 複数の未知関数を同時に扱う方程式系。定数変化法は系にも適用可能です。
係数関数: 微分方程式の中で未知関数の近くの係数として現れる関数。

定数変化法の関連用語

定数変化法: 常微分方程式の非同次項を解く代表的な方法です。まず同次方程式の解の基底値 y1, y2 を見つけ、解を y = u1(x) y1 + u2(x) y2 の形で仮定します。次に u1' と u2' を求める連立方程式を設定し、u1' y1 + u2' y2 = 0 および u1' y1' + u2' y2' = g(x) を解いて得た u1, u2 を用いて特解 y_p を作ります。最終的な解は y = y_h + y_p となり、y_h = C1 y1 + C2 y2 が同次解です。
パラメータ変化法: 定数変化法と同義の別名で、同じく非同次線形微分方程式を解く手法です。y = u1(x) y1 + u2(x) y2 の形を用い、u1, u2 を未知関数として導出する点は同じです。
同次線形微分方程式: 係数が定数の線形微分方程式で、解は y = C1 y1 + C2 y2 のように、二つの独立な基底解の線形結合で表されます。
非同次線形微分方程式: 右辺に g(x) がある場合の線形方程式で、解は同次解 y_h に対して particular solution y_p を足した形 y = y_h + y_p で表されます。
基底解: 同次方程式の独立な解 y1, y2 の組。これらを用いて一般解を作る土台となります。
Wronskian: y1, y2 の線形独立性を判断する指標で、W(y1,y2) = y1 y2' - y2 y1' が 0 でない場合、y1, y2 は独立です。
グリーンの関数: 線形微分作用素 L[y] = g に対して、境界条件を満たす Green's function G(x,s) を用いて解を y_p(x) = ∫ G(x,s) g(s) ds の形で表現します。
初期値問題: 初期条件 y(x0) = y0, y'(x0) = y1 などが与えられる問題。定数変化法を使う前提として、特定の初期条件を満たす特解を求めます。
境界値問題: 区間の端点で条件が与えられる問題。変分法の一部の解法と同様に、境界条件を満たす解を探します。
特解: 非同次項を打ち消す特定の解。一般解 y = y_h + y_p の y_p がこれにあたります。
線形微分方程式: 未知関数 y(x) とその導関数の線形な組み合わせで表現される微分方程式。
二階線形微分方程式: 最も一般的な形は y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)。
係数関数: p(x), q(x) など、微分方程式の中の x の関数として現れる係数。
解の一般形: 同次解と特解を組み合わせた全解の形。通常は y = C1 y1 + C2 y2 + y_p。