レオンチェフ逆行列とは？初心者にも分かる基礎と計算の仕組み共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

レオンチェフ逆行列とは何か

レオンチェフ逆行列は、経済学やデータ分析で使われる行列の考え方です。英語名は Leontief inverse と呼ばれ、生産と需要の関係を表す仕組みの解析に役立ちます。基本的には I minus A の逆行列を指しますが、ここでの要点は中間投入係数を含む行列 A の影響を全部まとめて表すことです。

仕組みの概要

A は中間投入係数の行列で、各産業が他の産業からどれだけの投入を受けているかを示します。I は単位行列で、対角成分は 1、その他は 0。レオンチェフ逆行列 L は次の式で定義されます：L = (I - A)^{-1}。この式を使うと、最終需要 y が与えられたときに総生産 x をすばやく求めることができます。すなわち x = L y となります。

なぜレオンチェフ逆行列が重要か

最終需要が増えると、直接の生産だけでなく、連鎖的な生産が生まれます。レオンチェフ逆行列はこの「連鎖的な波及効果」を表し、どの分野がどの程度全体の生産を押し上げるかを教えてくれます。これにより、政策分析や産業計画、コスト予測の際に役立ちます。生産の連鎖関係を数量化できる点が大きな魅力です。

簡単な例で仕組みを見る

以下の例は非常に小さなモデルです。2つの産業 A と B があり、相互に投入しています。係数行列 A は次のとおりです。

要素	A11	A12
Aの値	0.3	0.2
Aの値	0.1	0.4

I を 2x2 の単位行列とすると I - A は次のようになります。

要素	I11	I12
値	0.7	-0.2
値	-0.1	0.6

この I - A の逆行矩陣を求めると L が得られます。ここでは計算を簡略化するため結果を示します。

要素	L11	L12
値	1.5	0.5
値	0.25	1.75

この L を使って最終需要 y が与えられたとき、総生産 x は x = L y で求められます。例えば y が [100, 150] のとき、x は大まかに次のように計算されます。x1 = 1.5×100 + 0.5×150、x2 = 0.25×100 + 1.75×150 となります。

実務での使い方のポイント

レオンチェフ逆行列を使うことで、最終需要の変化が各産業の総生産にどの程度波及するかを一度の計算で把握できます。これにより政策の影響評価や投資計画、コスト構造の分析がスムーズになります。ただし、A の性質によっては逆行列が存在しない場合もある点に注意が必要です。現実のデータでは A の値が小さく、解が安定している状況を想定します。

まとめとポイント

レオンチェフ逆行列は、複数の産業が相互に影響し合う経済の「波及効果」を数式として表す強力な道具です。I - A の逆行列を求めることで、任意の最終需要に対する総生産をすばやく予測できるという点が大きな特徴です。正しく使うには、A の構造と可逆性を理解することが大切です。

レオンチェフ逆行列の同意語

レオンチェフ逆行列: 投入産出分析で使われる、全産業に及ぶ総需要の波及効果を表す逆行列。式は (I - A)^{-1}。I は単位行列、A は産業間の技術係数を並べた系統的な行列です。
レオンチェフの逆行列: レオンチェフ逆行列と同義の別表記。投入産出モデルにおける総需要の波及を示す逆行列のこと。
レオントフ逆行列: 表記ゆれの一つ。レオントフと呼ばれる表記で同じ Leontief inverse を指す概念です。
レオントフの逆行列: レオンチェフ逆行列の別表記。表記の揺れとして用いられる同じ概念を指します。
レオンチェフ・インバース: Leontief inverse の日本語表記の一つ。投入産出分析で用いられる (I - A)^{-1} のこと。
Leontief inverse: 英語表記。投入産出モデルにおける全産業の波及効果を表す逆行列。式は (I - A)^{-1}。
Leontief逆行列: 英語名の日本語表記の一つ。Leontief inverse を指し、同じ概念を表します。
Leontief inverse matrix: 英語表現。総需要の波及効果を示す行列で、(I - A)^{-1} を意味します。

レオンチェフ逆行列の対義語・反対語

原行列: 逆行列を取る前の元となる行列のこと。レオンチェフ逆行列の対義語的な観点では、(I - A) のような元の形を指すことが多いです。
(I - A) 行列: レオンチェフ逆行列を求める元の行列そのもの。逆行列を作る前段階の基礎となる矩陣です。
非可逆行列: 逆行列を持たない行列。レオンチェフ逆行列が存在する条件を崩すケースをイメージする際の対義語として使えます。
レオンチェフ直接係数行列 A: 直接的な入力係数を表す行列。レオンチェフ逆行列の対比として、直接的な影響のみを表します。

レオンチェフ逆行列の共起語

産業連関表: 経済の部門間の取引を示す表。投入産出分析の基礎データとして使われます。
投入産出分析: 産業間の生産と最終需要の関係を解析する方法。レオンチェフ逆行列の計算根拠になります。
技術係数行列: 各産業の投入比率を表す行列（通常 A と呼ばれます）。
A行列: 技術係数行列の別称。産業間の直接投入比率を表します。
係数行列: 技術係数行列の総称として使われることが多い用語です。
最終需要: 家庭・政府・企業の支出など、産業の生産を外部から使う需要の総称。
最終需要ベクトル: 最終需要を産業別に表したベクトル形式のデータ。
総需要: 最終需要の総称。各産業における最終消費の合計を指します。
(I - A): 単位行列 I から技術係数行列 A を引いた行列。レオンチェフ分析の前提となる矩陣です。
(I - A)^{-1}: レオンチェフ逆行列。最終需要の変化が総生産へ波及する倍率を表します。
直接効果: 最初の需要ショックが生産に直接与える影響。
間接効果: 部門間の中間投入を介して生じる影響。
誘発効果: 所得の再分配などにより発生する追加的な影響。
波及効果: 直接・間接・誘発の総合的な影響の広がり。
レオンチェフ乗数: 最終需要の変化が対象産業の総生産へ与える倍率。

レオンチェフ逆行列の関連用語

レオンチェフ逆行列: 最終需要の変化に対する総生産の影響を表す行列。式は x = (I - A)^{-1} f。各産業の総生産がどれだけ増えるかを示します。
入力係数行列（技術係数行列）: A 行列。要素 a_ij は産業 j の1単位の生産を作るのに、産業 i が必要とする中間投入の比率です。
I - A: 単位行列から技術係数行列 A を引いたもの。逆行列を作る土台で、(I - A) を用いてレオンチェフ逆行列を得ます。
産業連関表: 産業間の中間投入と最終需要の関係を整理したデータ表。
最終需要（f）: 家計消費・政府支出・投資・輸出など、最終的に需要として各産業にもたらされる量を表すベクトルです。
レオンチェフ乗数: 最終需要の変化が各産業の総生産に与える影響の指標。
総生産（x）: 各産業の総生産量のベクトルで、x = (I - A)^{-1} f によって求められます。
直接効果: 最終需要の変化に直接対応して発生する最初の影響です。
間接効果: 直接効果の波及として他の産業へ連鎖的に生じる影響です。
総効果: 直接効果と間接効果を合わせた、最終需要の変化が生み出す総影響です。
データ源と用途: 国民経済計算の産業連関表などを用い、政策評価や産業計画に活用します。
最終需要のカテゴリ: 家計消費、政府支出、投資、輸出など、最終需要を構成する要素です。
計算上の注意点: I - A が正則で逆行列が存在すること、A が非負で現実の経済を近似する場合は逆行列の成分が非負になりやすいです。